જો ગણ {$1, 3, 5, 7, \dots, 59$} માંથી એક સંખ્યા યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો તે સંખ્યા એ અંતરાલમાં હોય જેમાં વિધેય $f(x) = x^3 - 16x^2 + 20x - 5$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોય,તેની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $f(x) = \sin x$ અને $g(x) = x$.
વિધાન $1$: $x \in (0, \infty)$ માટે $f(x) \le g(x)$.
વિધાન $2$: $x \in (0, \infty)$ માટે $f(x) \le 1$ પરંતુ જેમ $x \to \infty$ તેમ $g(x) \to \infty$.

નીચે આપેલા વિધાનો $S$ અને $R$ ધ્યાનમાં લો:
$S: \sin x$ અને $\cos x$ બંને અંતરાલ $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ માં ઘટતાં વિધેયો છે.
$R:$ જો વિધેય $f$ અંતરાલ $(a, b)$ માં ઘટતું હોય,તો તેનું વિકલિત $f'(x)$ પણ અંતરાલ $(a, b)$ માં ઘટતું હોય.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $g(x)=3 f\left(\frac{x}{3}\right)+f(3-x)$ અને તમામ $x \in(0,3)$ માટે $f^{\prime \prime}(x)>0$ છે. જો $g$ એ $(0, \alpha)$ માં ઘટતું અને $(\alpha, 3)$ માં વધતું વિધેય હોય,તો $8 \alpha$ ની કિંમત શોધો.

જો $g(x) = \frac{1}{6} f(3 x^2 - 1) + \frac{1}{2} f(1 - x^2), \forall x \in R$,જ્યાં $f''(x) > 0, \forall x \in R$ હોય,તો $g(x)$ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે?

વિધેય $f(x) = \frac{3}{10}x^4 - \frac{4}{5}x^3 - 3x^2 + \frac{36}{5}x + 11$ માટે કયા અંતરાલોમાં વિધેય $(a)$ વધતું $(b)$ ઘટતું છે તે શોધો.